Аксиомы линейного пространства. Линейная зависимость. Лемма о правом крайнем.

Пусть $F$ - произвольное поле. **Векторным** (**линейным**) **пространством** над полем $F$ называется произвольное ненулевое множество $V$, на котором заданы бинарная операция сложения (+) и для каждого $\alpha \in F$ определена операция умножения на $\alpha$, удовлетворяющая следующим аксиомам векторного пр-ва: 1) $\forall{\mathbf{x}, \mathbf{y}\in V}~~ \mathbf{x}+\mathbf{y}=\mathbf{y}+\mathbf{x}$ 2) $\forall{\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}\in V}~~(\mathbf{x}+\mathbf{y})+\mathbf{z}=\mathbf{x}+(\mathbf{y}+\mathbf{z})$ 3) $\exists{\mathbf{0}}~:\forall{\mathbf{x} \in V}~~ \mathbf{x}+\mathbf{0} = \mathbf{x}$ 4) $\forall{\mathbf{x}\in V}~~ \exists{\mathbf{y}\in V}~~ \mathbf{x}+\mathbf{y}=\mathbf{0}$ 5) $\forall{\mathbf{x}, \mathbf{y}\in V}~~ \forall{\alpha\in F}~~ \alpha(\mathbf{x}+\mathbf{y})=\alpha \mathbf{x} + \alpha \mathbf{y}$ 6) $\forall{\mathbf{x} \in V,~\alpha,\beta \in F}~~ (\alpha+\beta)\mathbf{x} =\alpha \mathbf{x} + \beta \mathbf{x}$ 7) $\forall{\mathbf{x}\in V,~\alpha,\beta \in F}~~ \alpha(\beta \mathbf{x})=(\alpha\beta)\mathbf{x}$ 8) $\forall{\mathbf{x}\in V}~~ 1\cdot \mathbf{x}=\mathbf{x}$

$$\forall{\alpha \in V}~~\alpha \cdot \mathbf{0} = \mathbf{0}$$

$$\begin{align} \mathbf{0} &=^3 \mathbf{0} + \mathbf{0} ~~\Huge{|}\normalsize \cdot\alpha \\ \alpha \cdot\mathbf{0} &= \alpha \cdot(\mathbf{0}+\mathbf{0})=^5\alpha\cdot\mathbf{0}+\alpha\cdot\mathbf{0} ~~\Huge{|}\normalsize +(-\alpha\mathbf{0}) \\ \mathbf{0} &= \alpha \mathbf{0} \end{align}$$

$$\forall{\mathbf{x}\in V}~~ 0\mathbf{x}=\mathbf{0}$$

$$\begin{align} {0}\mathbf{x}+0\mathbf{x} &=^6 (0+0)\mathbf{x} = 0\mathbf{x} ~~\Huge{|}\normalsize +(-0\mathbf{x}) \\ 0\mathbf{x} &= \mathbf{0} \end{align}$$

$$\alpha \mathbf{x} = \mathbf{0} \iff \alpha = 0 \lor \mathbf{x} = \mathbf{0}$$

Пусть $\alpha \mathbf{x} =\mathbf{0}$ и $\alpha\neq0$. Проверим, что $\mathbf{x} = \mathbf{0}$: $$\mathbf{x} =^8 1\cdot \mathbf{x} =(\alpha^{-1}\alpha)\mathbf{x}=^7\alpha^{-1}(\alpha \mathbf{x})=\alpha^{-1}\cdot\mathbf{0}=^{1^{\bigtriangledown}}\mathbf{0}$$

$$\forall{\alpha \in F}~~\forall{\mathbf{x}\in V}~~(-\alpha)\mathbf{x}=-\alpha \mathbf{x}$$

$$\begin{align} (-\alpha)\mathbf{x}+\alpha \mathbf{x} &=^6 ((-\alpha)+\alpha)\mathbf{x}=0\cdot \mathbf{x}=^{2^{\bigtriangledown}}\mathbf{0} ~~\Huge|\normalsize +(-\alpha \mathbf{x}) \\ (-\alpha)\mathbf{x} &= -\alpha \mathbf{x} \end{align}$$

Пусть $a_{1}, a_{2},\dots,a_{k}$ - система векторов из векторного пространства $V$ над полем $F$. Вектор вида: $$\alpha_{1}a_{1}+\alpha_{2}a_{2}+\dots+\alpha_{k}a_{k}$$ называется ***линейной комбинацией*** векторов $a_{1}, a_{2},\dots,a_{k}$ Линейная комбинация называется **тривиальной**, если $\alpha_{1}=\alpha_{2}=\dots =\alpha_{k}=\mathbf{0}$, и ***нетривиальной***, если хотя бы один из скаляров $\alpha_{1},\alpha_{2}\dots,\alpha_{k}$ неравен $0$. Если вектор $b$ является линейной комбинацией $a_{1}, a_{2},\dots,a_{k}$, говорят, что $b$ ***линейно выражается*** через вектора $a_{1}, a_{2},\dots,a_{k}$. Вектора $a_{1}, a_{2},\dots,a_{k}$ ***линейно зависимы***, если некоторая нетривиальная линейная комбинация этих векторов равна нулевому вектору, и ***линейно независима***, если никакая нетривиальная линейная комбинация этих векторов не равна нулевому вектору.

Если система ненулевых векторов $a_{1}, a_{2},\dots,a_{n}$ линейно зависима, то в ней есть вектор, который линейно выражается через предыдущие.

По условию существуют $\alpha_{1},\alpha_{2}\dots,\alpha_{n}$, по крайней мере один из них не равен 0, такие что: $$\alpha_{1}\mathbf{a}_{1}+\alpha_{2}\mathbf{a}_{2}+\dots+\alpha_{n}\mathbf{a}_{n} = \mathbf{0}$$Возьмем самый правый коэффициент отличный от 0. Пусть это $\alpha_{j}\neq0$. Тогда: $$\alpha_{1}\mathbf{a}_{1}+\alpha_{2}\mathbf{a}_{2}+\dots+\alpha_{j}\mathbf{a}_{j}=0$$ Откуда: $$\mathbf{a}_{j}=-\frac{\alpha_{1}}{\alpha_{j}}\mathbf{a}_{1}-\frac{\alpha_{2}}{\alpha_{j}}\mathbf{a}_{2}-\dots-\frac{\alpha_{j-1}}{\alpha_{j}}\mathbf{a}_{j-1}$$ т.e. $\mathbf{a}_{j}$ линейно выражается через предыдущие. Заметим, что $j\neq{1}$ т.к. тогда равенство сводится $\alpha_{1}\mathbf{a}_{1}=\mathbf{0}$ откуда $a_{1}=\mathbf{0}$ (противоречие)